.. _sec_rmsprop:
RMSProp
=======
Um dos principais problemas em :numref:`sec_adagrad` é que a taxa de
aprendizagem diminui em um cronograma predefinido de
:math:`\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})`. Embora geralmente seja apropriado
para problemas convexos, pode não ser ideal para problemas não convexos,
como os encontrados no aprendizado profundo. No entanto, a
adaptabilidade coordenada do Adagrad é altamente desejável como um
pré-condicionador.
:cite:`Tieleman.Hinton.2012` propôs o algoritmo RMSProp como uma
solução simples para desacoplar o escalonamento de taxas das taxas de
aprendizagem adaptativa por coordenadas. O problema é que Adagrad
acumula os quadrados do gradiente :math:`\mathbf{g}_t` em um vetor de
estado :math:`\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2`. Como
resultado, :math:`\mathbf{s}_t` continua crescendo sem limites devido à
falta de normalização, essencialmente linearmente conforme o algoritmo
converge.
Uma maneira de corrigir esse problema seria usar
:math:`\mathbf{s}_t / t`. Para distribuições razoáveis de
:math:`\mathbf{g}_t`, isso convergirá. Infelizmente, pode levar muito
tempo até que o comportamento do limite comece a importar, pois o
procedimento lembra a trajetória completa dos valores. Uma alternativa é
usar uma média de vazamento da mesma forma que usamos no método de
momentum, ou seja,
:math:`\mathbf{s}_t \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1-\gamma) \mathbf{g}_t^2`
para algum parâmetro :math:`\gamma > 0`. Manter todas as outras partes
inalteradas resulta em RMSProp.
O Algoritmo
-----------
Vamos escrever as equações em detalhes.
.. math::
\begin{aligned}
\mathbf{s}_t & \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2, \\
\mathbf{x}_t & \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \odot \mathbf{g}_t.
\end{aligned}
A constante :math:`\epsilon > 0` é normalmente definida como
:math:`10^{-6}` para garantir que não soframos divisão por zero ou
tamanhos de passos excessivamente grandes. Dada essa expansão, agora
estamos livres para controlar a taxa de aprendizado :math:`\eta`
independentemente da escala que é aplicada por coordenada. Em termos de
médias vazadas, podemos aplicar o mesmo raciocínio aplicado
anteriormente no caso do método do momento. Expandindo a definição de
:math:`\mathbf{s}_t` yields
.. math::
\begin{aligned}
\mathbf{s}_t & = (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{s}_{t-1} \\
& = (1 - \gamma) \left(\mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{g}_{t-1}^2 + \gamma^2 \mathbf{g}_{t-2} + \ldots, \right).
\end{aligned}
Como antes em :numref:`sec_momentum` usamos
:math:`1 + \gamma + \gamma^2 + \ldots, = \frac{1}{1-\gamma}`. Portanto,
a soma dos pesos é normalizada para :math:`1` com um tempo de meia-vida
de uma observação de :math:`\gamma^{-1}`. Vamos visualizar os pesos das
últimas 40 etapas de tempo para várias opções de :math:`\gamma`.
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
%matplotlib inline
import math
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l
npx.set_np()
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
x = np.arange(40).asnumpy()
d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
.. figure:: output_rmsprop_251805_3_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
import math
import torch
from d2l import torch as d2l
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
x = torch.arange(40).detach().numpy()
d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
.. figure:: output_rmsprop_251805_6_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
import math
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
x = tf.range(40).numpy()
d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
.. figure:: output_rmsprop_251805_9_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
.. figure:: output_rmsprop_251805_15_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
.. figure:: output_rmsprop_251805_18_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
.. figure:: output_rmsprop_251805_21_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
def init_rmsprop_states(feature_dim):
s_w = np.zeros((feature_dim, 1))
s_b = np.zeros(1)
return (s_w, s_b)
def rmsprop(params, states, hyperparams):
gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
for p, s in zip(params, states):
s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * np.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / np.sqrt(s + eps)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
def init_rmsprop_states(feature_dim):
s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
s_b = torch.zeros(1)
return (s_w, s_b)
def rmsprop(params, states, hyperparams):
gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
for p, s in zip(params, states):
with torch.no_grad():
s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
p.grad.data.zero_()
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
def init_rmsprop_states(feature_dim):
s_w = tf.Variable(tf.zeros((feature_dim, 1)))
s_b = tf.Variable(tf.zeros(1))
return (s_w, s_b)
def rmsprop(params, grads, states, hyperparams):
gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
for p, s, g in zip(params, states, grads):
s[:].assign(gamma * s + (1 - gamma) * tf.math.square(g))
p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * g / tf.math.sqrt(s + eps))
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
{'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.243, 0.739 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_251805_39_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
{'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.243, 0.014 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_251805_42_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
{'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.245, 0.082 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_251805_45_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
d2l.train_concise_ch11('rmsprop', {'learning_rate': 0.01, 'gamma1': 0.9},
data_iter)
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.242, 0.657 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_251805_51_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
trainer = torch.optim.RMSprop
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9},
data_iter)
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.243, 0.013 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_251805_54_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. code:: python
trainer = tf.keras.optimizers.RMSprop
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01, 'rho': 0.9},
data_iter)
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.246, 0.103 sec/epoch
.. figure:: output_rmsprop_251805_57_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
`Discussão `__
.. raw:: html
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`Discussão `__
.. raw:: html
.. raw:: html
`Discussão `__
.. raw:: html
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