18.5. Cálculo Integral

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A diferenciação representa apenas metade do conteúdo de uma educação tradicional de cálculo. O outro pilar, integração, começa parecendo uma pergunta um tanto desconexa: “Qual é a área abaixo desta curva?” Embora aparentemente não relacionada, a integração está intimamente ligada à diferenciação por meio do que é conhecido como teorema fundamental do cálculo.

No nível de machine learning que discutimos neste livro, não precisaremos ter um conhecimento profundo de integração. No entanto, forneceremos uma breve introdução para estabelecer as bases para quaisquer outras aplicações que encontraremos mais tarde.

18.5.1. Interpretação Geométrica

Suponha que tenhamos uma função \(f(x)\). Para simplificar, vamos supor que \(f(x)\) não seja negativa (nunca assume um valor menor que zero). O que queremos tentar entender é: qual é a área contida entre \(f(x)\) e o eixo \(x\)?

mxnetpytorchtensorflow

%matplotlib inline
from IPython import display
from mpl_toolkits import mplot3d
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

x = np.arange(-2, 2, 0.01)
f = np.exp(-x**2)

d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.fill_between(x.tolist(), f.tolist())
d2l.plt.show()

%matplotlib inline
import torch
from IPython import display
from mpl_toolkits import mplot3d
from d2l import torch as d2l

x = torch.arange(-2, 2, 0.01)
f = torch.exp(-x**2)

d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.fill_between(x.tolist(), f.tolist())
d2l.plt.show()

%matplotlib inline
import tensorflow as tf
from IPython import display
from mpl_toolkits import mplot3d
from d2l import tensorflow as d2l

x = tf.range(-2, 2, 0.01)
f = tf.exp(-x**2)

d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.fill_between(x.numpy(), f.numpy())
d2l.plt.show()

Na maioria dos casos, esta área será infinita ou indefinida (considere a área sob \(f(x) = x^{2}\)), então as pessoas frequentemente falarão sobre a área entre um par de pontas, digamos \(a\) e \(b\).

mxnetpytorchtensorflow

x = np.arange(-2, 2, 0.01)
f = np.exp(-x**2)

d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.fill_between(x.tolist()[50:250], f.tolist()[50:250])
d2l.plt.show()

x = torch.arange(-2, 2, 0.01)
f = torch.exp(-x**2)

d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.fill_between(x.tolist()[50:250], f.tolist()[50:250])
d2l.plt.show()

x = tf.range(-2, 2, 0.01)
f = tf.exp(-x**2)

d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.fill_between(x.numpy()[50:250], f.numpy()[50:250])
d2l.plt.show()

Iremos denotar esta área pelo símbolo integral abaixo:

(18.5.1)\[\mathrm{Area}(\mathcal{A}) = \int_a^b f(x) \;dx.\]

A variável interna é uma variável fictícia, muito parecida com o índice de uma soma em \(\sum\) e, portanto, pode ser escrita de forma equivalente com qualquer valor interno que desejarmos:

(18.5.2)\[\int_a^b f(x) \;dx = \int_a^b f(z) \;dz.\]

Há uma maneira tradicional de tentar entender como podemos tentar aproximar essas integrais: podemos imaginar pegar a região entre \(a\) e \(b\) e dividi-la em fatias verticais de \(N\). Se \(N\) for grande, podemos aproximar a área de cada fatia por um retângulo e, em seguida, somar as áreas para obter a área total sob a curva. Vamos dar uma olhada em um exemplo fazendo isso no código. Veremos como obter o valor verdadeiro em uma seção posterior.

mxnetpytorchtensorflow

epsilon = 0.05
a = 0
b = 2

x = np.arange(a, b, epsilon)
f = x / (1 + x**2)

approx = np.sum(epsilon*f)
true = np.log(2) / 2

d2l.set_figsize()
d2l.plt.bar(x.asnumpy(), f.asnumpy(), width=epsilon, align='edge')
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.ylim([0, 1])
d2l.plt.show()

f'approximation: {approx}, truth: {true}'

'approximation: 0.7944855690002441, truth: 0.34657359027997264'

epsilon = 0.05
a = 0
b = 2

x = torch.arange(a, b, epsilon)
f = x / (1 + x**2)

approx = torch.sum(epsilon*f)
true = torch.log(torch.tensor([5.])) / 2

d2l.set_figsize()
d2l.plt.bar(x, f, width=epsilon, align='edge')
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.ylim([0, 1])
d2l.plt.show()

f'approximation: {approx}, truth: {true}'

'approximation: 0.7944855690002441, truth: tensor([0.8047])'

epsilon = 0.05
a = 0
b = 2

x = tf.range(a, b, epsilon)
f = x / (1 + x**2)

approx = tf.reduce_sum(epsilon*f)
true = tf.math.log(tf.constant([5.])) / 2

d2l.set_figsize()
d2l.plt.bar(x, f, width=epsilon, align='edge')
d2l.plt.plot(x, f, color='black')
d2l.plt.ylim([0, 1])
d2l.plt.show()

f'approximation: {approx}, truth: {true}'

'approximation: 0.7944856286048889, truth: [0.804719]'

O problema é que, embora possa ser feito numericamente, podemos fazer essa abordagem analiticamente apenas para as funções mais simples, como

(18.5.3)\[\int_a^b x \;dx.\]

Qualquer coisa um pouco mais complexa como nosso exemplo do código acima

(18.5.4)\[\int_a^b \frac{x}{1+x^{2}} \;dx.\]

está além do que podemos resolver com um método tão direto.

Em vez disso, faremos uma abordagem diferente. Trabalharemos intuitivamente com a noção da área, e aprenderemos a principal ferramenta computacional usada para encontrar integrais: o teorema fundamental do cálculo. Esta será a base para nosso estudo de integração.

18.5.2. O Teorema Fundamental do Cálculo

Para mergulhar mais fundo na teoria da integração, vamos apresentar uma função

(18.5.5)\[F(x) = \int_0^x f(y) dy.\]

Esta função mede a área entre \(0\) e \(x\) dependendo de como alteramos \(x\). Observe que isso é tudo de que precisamos, já que

(18.5.6)\[\int_a^b f(x) \;dx = F(b) - F(a).\]

Esta é uma codificação matemática do fato de que podemos medir a área até o ponto final distante e então subtrair a área até o ponto final próximo, conforme indicado em Fig. 18.5.1.

Fig. 18.5.1 Visualizando porque podemos reduzir o problema de calcular a área sob uma curva entre dois pontos para calcular a área à esquerda de um ponto.

Assim, podemos descobrir qual é a integral em qualquer intervalo, descobrindo o que é \(F(x)\).

Para fazer isso, consideremos um experimento. Como costumamos fazer em cálculo, vamos imaginar o que acontece quando mudamos o valor um pouquinho. Pelo comentário acima, sabemos que

(18.5.7)\[F(x+\epsilon) - F(x) = \int_x^{x+\epsilon} f(y) \; dy.\]

Isso nos diz que a função muda de acordo com a área sob uma pequena porção de uma função.

Este é o ponto em que fazemos uma aproximação. Se olharmos para uma pequena porção de área como esta, parece que esta área está próxima da área retangular com a altura o valor de \(f(x)\) e a largura da base \(\epsilon\) De fato, pode-se mostrar que à medida que \(\epsilon \rightarrow 0\) essa aproximação se torna cada vez melhor. Assim podemos concluir:

(18.5.8)\[F(x+\epsilon) - F(x) \approx \epsilon f(x).\]

Porém, agora podemos notar: este é exatamente o padrão que esperamos se estivéssemos calculando a derivada de \(F\)! Assim, vemos o seguinte fato bastante surpreendente:

(18.5.9)\[\frac{dF}{dx}(x) = f(x).\]

Este é o teorema fundamental do cálculo. Podemos escrever em forma expandida como

(18.5.10)\[\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^x f(y) \; dy = f(x).\]

Ele pega o conceito de localização de áreas (a priori bastante difícil) e o reduz a derivadas de uma instrução (algo muito mais completamente compreendido). Um último comentário que devemos fazer é que isso não nos diz exatamente o que \(F(x)\) é. Na verdade, \(F(x) + C\) para qualquer \(C\) tem a mesma derivada. Este é um fato da vida na teoria da integração. Felizmente, observe que, ao trabalhar com integrais definidas, as constantes desaparecem e, portanto, são irrelevantes para o resultado.

(18.5.11)\[\int_a^b f(x) \; dx = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a).\]

Isso pode parecer sem sentido abstrato, mas vamos parar um momento para apreciar que isso nos deu uma perspectiva totalmente nova sobre as integrais computacionais. Nosso objetivo não é mais fazer algum tipo de processo de corte e soma para tentar recuperar a área, ao invés disso, precisamos apenas encontrar uma função cuja derivada é a função que temos! Isso é incrível, pois agora podemos listar muitas integrais bastante difíceis apenas revertendo a tabela de Section 18.3.2. Por exemplo, sabemos que a derivada de \(x^{n}\) is \(nx^{n-1}\). Assim, podemos dizer usando o teorema fundamental (18.5.10) que

(18.5.12)\[\int_0^{x} ny^{n-1} \; dy = x^n - 0^n = x^n.\]

Da mesma forma, sabemos que a derivada de \(e^{x}\) é ela mesma, o que significa

(18.5.13)\[\int_0^{x} e^{x} \; dx = e^{x} - e^{0} = e^x - 1.\]

Desta forma, podemos desenvolver toda a teoria da integração aproveitando as idéias do cálculo diferencial livremente. Toda regra de integração deriva desse único fato.

18.5.3. Mudança de Variável

Assim como com a diferenciação, há várias regras que tornam o cálculo de integrais mais tratáveis. Na verdade, cada regra de cálculo diferencial (como a regra do produto, regra da soma e regra da cadeia) tem uma regra correspondente para o cálculo integral (integração por partes, linearidade de integração e fórmula de mudança de variáveis, respectivamente). Nesta seção, vamos mergulhar no que é indiscutivelmente o mais importante da lista: a fórmula de mudança de variáveis.

Primeiro, suponha que temos uma função que é ela mesma uma integral:

(18.5.14)\[F(x) = \int_0^x f(y) \; dy.\]

Vamos supor que queremos saber como essa função se parece quando a compomos com outra para obter \(F(u(x))\). Pela regra da cadeia, sabemos

(18.5.15)\[\frac{d}{dx}F(u(x)) = \frac{dF}{du}(u(x))\cdot \frac{du}{dx}.\]

Podemos transformar isso em uma declaração sobre integração usando o teorema fundamental (18.5.10) como acima. Isto dá

(18.5.16)\[F(u(x)) - F(u(0)) = \int_0^x \frac{dF}{du}(u(y))\cdot \frac{du}{dy} \;dy.\]

Lembrando que \(F\) é em si uma integral dá que o lado esquerdo pode ser reescrito para ser

(18.5.17)\[\int_{u(0)}^{u(x)} f(y) \; dy = \int_0^x \frac{dF}{du}(u(y))\cdot \frac{du}{dy} \;dy.\]

Da mesma forma, lembrar que \(F\) é uma integral nos permite reconhecer que \(\frac{dF}{dx} = f\) usando o teorema fundamental (18.5.10), e assim podemos concluir

(18.5.18)\[\int_{u(0)}^{u(x)} f(y) \; dy = \int_0^x f(u(y))\cdot \frac{du}{dy} \;dy.\]

Esta é a fórmula de mudança de variáveis.

Para uma derivação mais intuitiva, considere o que acontece quando tomamos uma integral de \(f(u(x))\) entre \(x\) e \(x+\epsilon\). Para um pequeno \(\epsilon\), esta integral é aproximadamente \(\epsilon f(u(x))\), a área do retângulo associado. Agora, vamos comparar isso com a integral de \(f(y)\) de \(u(x)\) a \(u(x+\epsilon)\). Sabemos que \(u(x+\epsilon) \approx u(x) + \epsilon \frac{du}{dx}(x)\), então a área deste retângulo é aproximadamente \(\epsilon \frac{du}{dx}(x)f(u(x))\). Assim, para fazer a área desses dois retângulos serem iguais, precisamos multiplicar o primeiro por \(\frac{du}{dx}(x)\) como está ilustrado em Fig. 18.5.2.

Fig. 18.5.2 Visualizando a transformação de um único retângulo fino sob a mudança de variáveis.

Isso nos diz que

(18.5.19)\[\int_x^{x+\epsilon} f(u(y))\frac{du}{dy}(y)\;dy = \int_{u(x)}^{u(x+\epsilon)} f(y) \; dy.\]

Esta é a fórmula de mudança de variáveis expressa para um único retângulo pequeno.

Se \(u(x)\) e \(f(x)\) forem escolhidos corretamente, isso pode permitir o cálculo de integrais incrivelmente complexas. Por exemplo, se escolhermos \(f(y) = 1\) e \(u(x) = e^{-x^{2}}\) (o que significa \(\frac{du}{dx}(x) = -2xe^{-x^{2}}\)), isso pode mostrar, por exemplo, que

(18.5.20)\[e^{-1} - 1 = \int_{e^{-0}}^{e^{-1}} 1 \; dy = -2\int_0^{1} ye^{-y^2}\;dy,\]

e, assim, reorganizando isso

(18.5.21)\[\int_0^{1} ye^{-y^2}\; dy = \frac{1-e^{-1}}{2}.\]

18.5.4. Um Comentário Sobre as Convenções de Sinais

Os leitores mais atentos irão observar algo estranho nos cálculos acima. Ou seja, cálculos como

(18.5.22)\[\int_{e^{-0}}^{e^{-1}} 1 \; dy = e^{-1} -1 < 0,\]

pode produzir números negativos. Ao pensar sobre áreas, pode ser estranho ver um valor negativo, por isso vale a pena aprofundar no que é a convenção.

Os matemáticos assumem a noção de áreas sinalizadas. Isso se manifesta de duas maneiras. Primeiro, se considerarmos uma função \(f(x)\) que às vezes é menor que zero, então a área também será negativa. Então por exemplo

(18.5.23)\[\int_0^{1} (-1)\;dx = -1.\]

Da mesma forma, integrais que progridem da direita para a esquerda, ao invés da esquerda para a direita também são consideradas áreas negativas

(18.5.24)\[\int_0^{-1} 1\; dx = -1.\]

A área padrão (da esquerda para a direita de uma função positiva) é sempre positiva. Qualquer coisa obtida ao invertê-lo (digamos, inverter o eixo \(x\) para obter a integral de um número negativo ou inverter o eixo \(y\) para obter uma integral na ordem errada) produzirá uma área negativa. E, de fato, girar duas vezes dará um par de sinais negativos que se cancelam para ter área positiva

(18.5.25)\[\int_0^{-1} (-1)\;dx = 1.\]

Se essa discussão parece familiar, é! Em Section 18.1 discutimos como o determinante representava a área sinalizada da mesma maneira.

18.5.5. Integrais Múltiplas

Em alguns casos, precisaremos trabalhar em dimensões superiores. Por exemplo, suponha que temos uma função de duas variáveis, como \(f(x, y)\) e queremos saber o volume sob \(f\) quando \(x\) varia entre \([a, b]\) e \(y\) varia acima de \([c, d]\).

mxnetpytorchtensorflow

# Construct grid and compute function
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 101), np.linspace(-2, 2, 101),
                   indexing='ij')
z = np.exp(- x**2 - y**2)

# Plot function
ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, z)
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('y')
d2l.plt.xticks([-2, -1, 0, 1, 2])
d2l.plt.yticks([-2, -1, 0, 1, 2])
d2l.set_figsize()
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-2, 2)
ax.set_zlim(0, 1)
ax.dist = 12

# Construct grid and compute function
x, y = torch.meshgrid(torch.linspace(-2, 2, 101), torch.linspace(-2, 2, 101))
z = torch.exp(- x**2 - y**2)

# Plot function
ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, z)
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('y')
d2l.plt.xticks([-2, -1, 0, 1, 2])
d2l.plt.yticks([-2, -1, 0, 1, 2])
d2l.set_figsize()
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-2, 2)
ax.set_zlim(0, 1)
ax.dist = 12

# Construct grid and compute function
x, y = tf.meshgrid(tf.linspace(-2., 2., 101), tf.linspace(-2., 2., 101))
z = tf.exp(- x**2 - y**2)

# Plot function
ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, z)
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('y')
d2l.plt.xticks([-2, -1, 0, 1, 2])
d2l.plt.yticks([-2, -1, 0, 1, 2])
d2l.set_figsize()
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-2, 2)
ax.set_zlim(0, 1)
ax.dist = 12

Nós escrevemos isso como

(18.5.26)\[\int_{[a, b]\times[c, d]} f(x, y)\;dx\;dy.\]

Suponha que desejamos calcular essa integral. Minha alegação é que podemos fazer isso calculando iterativamente primeiro a integral em \(x\) e, em seguida, mudando para a integral em \(y\), ou seja,

(18.5.27)\[\int_{[a, b]\times[c, d]} f(x, y)\;dx\;dy = \int_c^{d} \left(\int_a^{b} f(x, y) \;dx\right) \; dy.\]

Vamos ver por que isso acontece.

Considere a figura acima, onde dividimos a função em \(\epsilon \times \epsilon\) quadrados que indexaremos com coordenadas inteiras \(i, j\). Neste caso, nossa integral é aproximadamente

(18.5.28)\[\sum_{i, j} \epsilon^{2} f(\epsilon i, \epsilon j).\]

Depois de discretizar o problema, podemos somar os valores nesses quadrados na ordem que quisermos e não nos preocupar em alterar os valores. Isso é ilustrado em Fig. 18.5.3. Em particular, podemos dizer que

(18.5.29)\[\sum _ {j} \epsilon \left(\sum_{i} \epsilon f(\epsilon i, \epsilon j)\right).\]

Fig. 18.5.3 Ilustrando como decompor uma soma em muitos quadrados como uma soma nas primeiras colunas (1), depois somando as somas das colunas (2).

A soma do interior é precisamente a discretização da integral

(18.5.30)\[G(\epsilon j) = \int _a^{b} f(x, \epsilon j) \; dx.\]

Finalmente, observe que se combinarmos essas duas expressões, obteremos

(18.5.31)\[\sum _ {j} \epsilon G(\epsilon j) \approx \int _ {c}^{d} G(y) \; dy = \int _ {[a, b]\times[c, d]} f(x, y)\;dx\;dy.\]

Assim, juntando tudo, temos que

(18.5.32)\[\int _ {[a, b]\times[c, d]} f(x, y)\;dx\;dy = \int _ c^{d} \left(\int _ a^{b} f(x, y) \;dx\right) \; dy.\]

Observe que, uma vez discretizado, tudo o que fizemos foi reorganizar a ordem em que adicionamos uma lista de números. Isso pode fazer parecer que não é nada, mas esse resultado (chamado Teorema de Fubini) nem sempre é verdadeiro! Para o tipo de matemática encontrada ao fazer o aprendizado de máquina (funções contínuas), não há preocupação, no entanto, é possível criar exemplos onde ela falha (por exemplo, a função \(f(x, y) = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^3\) sobre o retângulo \([0,2]\times[0,1]\)).

Observe que a escolha de fazer a integral em \(x\) primeiro e, em seguida, a integral em \(y\) foi arbitrária. Poderíamos ter igualmente escolhido fazer \(y\) primeiro e, em seguida, \(x\) para ver

(18.5.33)\[\int _ {[a, b]\times[c, d]} f(x, y)\;dx\;dy = \int _ a^{b} \left(\int _ c^{d} f(x, y) \;dy\right) \; dx.\]

Muitas vezes, vamos condensar em notação vetorial e dizer que para \(U = [a, b]\times [c, d]\), isso é

(18.5.34)\[\int _ U f(\mathbf{x})\;d\mathbf{x}.\]

18.5.6. Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas

Tal como acontece com variáveis únicas em (18.5.18), a capacidade de alterar variáveis dentro de uma integral de dimensão superior é uma ferramenta chave. Vamos resumir o resultado sem derivação.

Precisamos de uma função que reparameterize nosso domínio de integração. Podemos considerar isso como \(\phi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\), ou seja, qualquer função que recebe \(n\) variáveis reais e retorna outro \(n\). Para manter as expressões limpas, assumiremos que \(\phi\) é injetotora, o que quer dizer que nunca se dobra (\(\phi(\mathbf{x}) = \phi(\mathbf{y}) \implies \mathbf{x} = \mathbf{y}\)).

Neste caso, podemos dizer que

(18.5.35)\[\int _ {\phi(U)} f(\mathbf{x})\;d\mathbf{x} = \int _ {U} f(\phi(\mathbf{x})) \left|\det(D\phi(\mathbf{x}))\right|\;d\mathbf{x}.\]

onde \(D\phi\) é o Jacobiano de \(\phi\), que é a matriz das derivadas parciais de \(\boldsymbol{\phi} = (\phi_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, \phi_n(x_1, \ldots, x_n))\),

(18.5.36)\[\begin{split}D\boldsymbol{\phi} = \begin{bmatrix} \frac{\partial \phi _ 1}{\partial x _ 1} & \cdots & \frac{\partial \phi _ 1}{\partial x _ n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \phi _ n}{\partial x _ 1} & \cdots & \frac{\partial \phi _ n}{\partial x _ n} \end{bmatrix}.\end{split}\]

Olhando de perto, vemos que isso é semelhante à regra de cadeia de única variável (18.5.18), exceto que substituímos o termo \(\frac{du}{dx}(x)\) por \(\left|\det(D\phi(\mathbf{x}))\right|\). Vamos ver como podemos interpretar este termo. Lembre-se de que o termo \(\frac{du}{dx}(x)\) existia para dizer o quanto esticamos nosso eixo \(x\) aplicando \(u\). O mesmo processo em dimensões superiores é determinar quanto esticamos a área (ou volume, ou hipervolume) de um pequeno quadrado (ou pequeno hipercubo) aplicando \(\boldsymbol{\phi}\). Se \(\boldsymbol{\phi}\) era a multiplicação por uma matriz, então sabemos como o determinante já dá a resposta.

Com algum trabalho, pode-se mostrar que o Jacobiano fornece a melhor aproximação para uma função multivariável \(\boldsymbol{\phi}\) em um ponto por uma matriz da mesma forma que poderíamos aproximar por retas ou planos com derivados e gradientes. Assim, o determinante do Jacobiano reflete exatamente o fator de escala que identificamos em uma dimensão.

É preciso algum trabalho para preencher os detalhes, então não se preocupe se eles não estiverem claros agora. Vejamos pelo menos um exemplo que usaremos mais tarde. Considere a integral

(18.5.37)\[\int _ {-\infty}^{\infty} \int _ {-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}-y^{2}} \;dx\;dy.\]

Brincar com essa integral diretamente não nos levará a lugar nenhum, mas se mudarmos as variáveis, podemos fazer um progresso significativo. \(\boldsymbol{\phi}(r, \theta) = (r \cos(\theta), r\sin(\theta))\) (o que significa que \(x = r \cos(\theta)\), \(y = r \sin(\theta)\)), então podemos aplicar a fórmula de mudança da variável para ver que isso é a mesma coisa que

(18.5.38)\[\int _ 0^\infty \int_0 ^ {2\pi} e^{-r^{2}} \left|\det(D\mathbf{\phi}(\mathbf{x}))\right|\;d\theta\;dr,\]

onde

(18.5.39)\[\begin{split}\left|\det(D\mathbf{\phi}(\mathbf{x}))\right| = \left|\det\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{bmatrix}\right| = r(\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta)) = r.\end{split}\]

Assim, a integral é

(18.5.40)\[\int _ 0^\infty \int _ 0 ^ {2\pi} re^{-r^{2}} \;d\theta\;dr = 2\pi\int _ 0^\infty re^{-r^{2}} \;dr = \pi,\]

onde a igualdade final segue pelo mesmo cálculo que usamos na seção Section 18.5.3.

Encontraremos essa integral novamente quando estudarmos variáveis aleatórias contínuas em Section 18.6.

18.5.7. Resumo

• A teoria da integração nos permite responder a perguntas sobre áreas ou volumes.

• O teorema fundamental do cálculo nos permite alavancar o conhecimento sobre derivadas para calcular áreas através da observação de que a derivada da área até certo ponto é dada pelo valor da função que está sendo integrada.

• Integrais em dimensões superiores podem ser calculados iterando integrais de variável única.

18.5.8. Exercícios

1. Quanto é \(\int_1^2 \frac{1}{x} \;dx\)?

2. Use a fórmula de mudança de variáveis para integrar \(\int_0^{\sqrt{\pi}}x\sin(x^2)\;dx\).

3. Quanto é \(\int_{[0,1]^2} xy \;dx\;dy\)? 4.Use a fórmula de mudança de variáveis para calcular \(\int_0^2\int_0^1xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^3\;dy\;dx\) e \(\int_0^1\int_0^2f(x, y) = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^3\;dx\;dy\) para ver que elas são diferentes.

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